Pembahasan Soal ON MIPA PT 2015 Matematika Kombinatorika

Dibawah ini adalah pembahasan soal kombinatorika on mipa pt 2015 untuk bidang matematika.
Olimpiade Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam atau yang biasa disingkat ON MIPA-PT Tahun 2015 telah di selenggarakan dan telah diperoleh pemenang nya. Seleksi ON MIPA Tahun 2015 terdiri dari 4 (empat) bidang yaitu MatematikaFisikaKimia, dan Biologi. Bidang Matematika sendiri juga memiliki 5 macam soal seleksi yaitu, Aljabar LinierAnalisis RealAnalisis KompleksKombinatorika, dan Struktur Aljabar.

Pembahasan Soal ON MIPA PT 2015

Jawaban Pembahasan SOAL ON MIPA PT Matematika Kombinatorika

Jawaban Kombinatorika

Soal 8. (Bagian I) untuk setiap bilangan asli n\in \mathbb{N} dengan n\ge 2 , nilai dari
\displaystyle \frac{1}{n}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ 1 \end{array}} \right)+\frac{2}{n}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ 2 \end{array}} \right)+\frac{3}{n}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ 3 \end{array}} \right)+...+\frac{{n-1}}{n}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ {n-1} \end{array}} \right)
Adalah…….
Solusi. Misal
\displaystyle S=\frac{1}{n}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ 1 \end{array}} \right)+\frac{2}{n}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ 2 \end{array}} \right)+\frac{3}{n}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ 3 \end{array}} \right)+...+\frac{{n-1}}{n}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ {n-1} \end{array}} \right)....\left( i \right)
Dengan menggunakan sifat kesimetrisan binomial
\displaystyle \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ k \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ {n-k} \end{array}} \right)
diperoleh
\displaystyle S=\frac{1}{n}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ {n-1} \end{array}} \right)+\frac{2}{n}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ {n-2} \end{array}} \right)+\frac{3}{n}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ {n-3} \end{array}} \right)+...+\frac{{n-1}}{n}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ 1 \end{array}} \right)...\left( {ii} \right)
Jumlahkan \left( i \right) dan \left( {ii} \right) untuk memperoleh
\displaystyle 2S=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ 1 \end{array}} \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ 2 \end{array}} \right)+...+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ {n-1} \end{array}} \right)={{2}^{n}}-2
Jadi S={{2}^{{n-1}}}-1

Soal 3. (Bagian II) misalkan n adalah sebuah bilangan positif. Buktikan bahwa
\displaystyle \sum\limits_{{k=1}}^{n}{{{{{\left( {-1} \right)}}^{{k-1}}}\frac{1}{k}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ k \end{array}} \right)}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}
Solusi. misal
\displaystyle {{H}_{n}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}
mudah dilihat bahwa
\displaystyle {{H}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{{\frac{{1-{{x}^{n}}}}{{1-x}}}}dx
(ini jelas karena \frac{{1-{{x}^{n}}}}{{1-x}}=1+x+{{x}^{2}}+...+{{x}^{{n-1}}} )
Selanjutnya dengan menggunakan substitusi x=1-u diperoleh
\displaystyle \begin{array}{l}{{H}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{{\frac{{1-{{x}^{n}}}}{{1-x}}}}dx\\\,\,\,\,\,\,\,=-\int\limits_{1}^{0}{{\frac{{1-{{{\left( {1-u} \right)}}^{n}}}}{u}}}du\\\,\,\,\,\,\,\,=\int\limits_{0}^{1}{{\frac{{1-{{{\left( {1-u} \right)}}^{n}}}}{u}}}du\\\,\,\,\,\,\,\,=\int\limits_{0}^{1}{{\left[ {\sum\limits_{{k=1}}^{n}{{{{{\left( {-1} \right)}}^{{k-1}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ k \end{array}} \right){{u}^{{k-1}}}}}} \right]}}du\\\,\,\,\,\,\,\,=\sum\limits_{{k=1}}^{n}{{{{{\left( {-1} \right)}}^{{k-1}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ k \end{array}} \right)}}\int\limits_{0}^{1}{{{{u}^{{k-1}}}}}du\\\,\,\,\,\,\,\,=\sum\limits_{{k=1}}^{n}{{{{{\left( {-1} \right)}}^{{k-1}}}\frac{1}{k}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ k \end{array}} \right)}}\end{array}
Sumber: TheInspires.wordpress.com

= Baca Juga =

0 Response to "Pembahasan Soal ON MIPA PT 2015 Matematika Kombinatorika"

Posting Komentar

Silahkan berkomentar dengan sopan dan sesuai dengan topik..