Baca juga:
Dibawah ini adalah pembahasan soal analisis kompleks on mipa pt 2016 utnuk bidang matematika.
Olimpiade Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam atau yang biasa disingkat ON MIPA-PT Tahun 2016 telah di selenggarakan dan telah diperoleh pemenang nya. Seleksi ON MIPA Tahun 2016 terdiri dari 4 (empat) bidang yaitu MatematikaFisikaKimia, dan Biologi. Bidang Matematika sendiri juga memiliki 5 macam soal seleksi yaitu, Aljabar LinierAnalisis RealAnalisis KompleksKombinatorika, dan Struktur Aljabar.

Pembahasan Soal ON MIPA PT 2016

Jawaban Pembahasan SOAL ON MIPA PT Matematika Analisis Kompleks

Bagian I Isian

Soal 1. Hitunglah
\displaystyle {{\left( {i-1} \right)}^{{49}}}{{\left( {\cos \frac{\pi }{{40}}+i\sin \frac{\pi }{{40}}} \right)}^{{10}}}
Solusi. Dalam bentuk polar persamaan diatas menjadi
\displaystyle {{\left( {\sqrt{2}} \right)}^{{49}}}{{\left( {{{e}^{{{{3i\pi }}/{4}\;}}}} \right)}^{{49}}}{{\left( {{{e}^{{{{i\pi }}/{{40}}\;}}}} \right)}^{{10}}}={{\left( {\sqrt{2}} \right)}^{{49}}}{{e}^{{i\pi }}}=-{{\left( {\sqrt{2}} \right)}^{{49}}}
Soal 2. Diketahui fungsi u\left( {x,y} \right)={{e}^{x}}\left( {x\cos y-y\sin y} \right) . Selidiki apakah ada fungsi harmonic v\left( {x,y} \right) sehingga f\left( z \right)=f\left( {x,y} \right)=u\left( {x,y} \right)+iv\left( {x,y} \right)analitik. Jika ada, Tuliskan!
Solusi. Ya ada. (Mudah diperiksa bahwa u harmonis)
Dari persamaan Cauchy Riemaan
{{v}_{y}}={{u}_{x}}={{e}^{x}}\left( {x\cos y-y\sin y} \right)+{{e}^{x}}\cos y={{e}^{x}}x\cos y-{{e}^{x}}y\sin y+{{e}^{x}}\cos y\,\,\left( 1 \right)
\displaystyle {{v}_{x}}=-{{u}_{y}}=-{{e}^{x}}\left( {-x\sin y-\sin y-y\cos y} \right)={{e}^{x}}\left( {x\sin y+\sin y+y\cos y} \right)\,\,\left( 2 \right)
Integralkan \left( i \right) terhadap y maka
v={{e}^{x}}x\sin y+{{e}^{x}}y\cos y+F\left( x \right)\,\,\left( 3 \right)
Dimana F\left( x \right) adalah fungsi riil sembarang terhada x
Ganti \left( 3 \right) ke dalan \left( 2 \right)  untuk mendapatkan
{{e}^{x}}x\sin y+{{e}^{x}}\sin y+{{e}^{x}}y\cos y+F'\left( x \right)\,={{e}^{x}}\left( {x\sin y+\sin y+y\cos y} \right)
atau F'\left( x \right)=0 dan F\left( x \right)=c sehingga diperoleh
v={{e}^{x}}x\sin y+{{e}^{x}}y\cos y+c

Soal 3. Carilah nilai maksimum dari \left| {{{z}^{2}}+2z-3} \right| pada cakram satuan tertutup \left| z \right|\le 1 .
Soal 4. Tentukan residu  di z=0 dari fungsi
f\left( z \right)=\frac{{{{e}^{{{1}/{z}\;}}}}}{{{{z}^{2}}+1}}
Solusi. Residu di z=0 adalah koefisien {1}/{z}\; pada ekspansi
f\left( z \right)=\left( {1+\frac{1}{z}+\frac{1}{{2!{{z}^{2}}}}+\frac{1}{{3!{{z}^{3}}}}+...} \right)\left( {1-{{z}^{2}}+{{z}^{4}}-{{z}^{6}}+...} \right)
yaitu
\displaystyle 1-\frac{1}{{3!}}+\frac{1}{{5!}}-\frac{1}{{7!}}....\frac{{{{{\left( {-1} \right)}}^{{n-1}}}}}{{\left( {2n-1} \right)!}}=\sin (1)

Sumber: TheInspires.wordpress.com

Related Posts

Punya pertanyaan? Mau request soal, jawaban, atau pembahasan? Silahkan berkomentar ⇛   

0 komentar untuk Pembahasan Soal ON MIPA PT 2016 Matematika : Analisis Kompleks Bagian Pertama Isian

Silahkan berkomentar dengan sopan..