Pembahasan Soal ON MIPA PT 2016 Matematika : Analisis Kompleks Bagian Pertama Isian

Dibawah ini adalah pembahasan soal analisis kompleks on mipa pt 2016 utnuk bidang matematika.
Olimpiade Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam atau yang biasa disingkat ON MIPA-PT Tahun 2016 telah di selenggarakan dan telah diperoleh pemenang nya. Seleksi ON MIPA Tahun 2016 terdiri dari 4 (empat) bidang yaitu MatematikaFisikaKimia, dan Biologi. Bidang Matematika sendiri juga memiliki 5 macam soal seleksi yaitu, Aljabar LinierAnalisis RealAnalisis KompleksKombinatorika, dan Struktur Aljabar.

Pembahasan Soal ON MIPA PT 2016

Jawaban Pembahasan SOAL ON MIPA PT Matematika Analisis Kompleks

Bagian I Isian

Soal 1. Hitunglah
\displaystyle {{\left( {i-1} \right)}^{{49}}}{{\left( {\cos \frac{\pi }{{40}}+i\sin \frac{\pi }{{40}}} \right)}^{{10}}}
Solusi. Dalam bentuk polar persamaan diatas menjadi
\displaystyle {{\left( {\sqrt{2}} \right)}^{{49}}}{{\left( {{{e}^{{{{3i\pi }}/{4}\;}}}} \right)}^{{49}}}{{\left( {{{e}^{{{{i\pi }}/{{40}}\;}}}} \right)}^{{10}}}={{\left( {\sqrt{2}} \right)}^{{49}}}{{e}^{{i\pi }}}=-{{\left( {\sqrt{2}} \right)}^{{49}}}
Soal 2. Diketahui fungsi u\left( {x,y} \right)={{e}^{x}}\left( {x\cos y-y\sin y} \right) . Selidiki apakah ada fungsi harmonic v\left( {x,y} \right) sehingga f\left( z \right)=f\left( {x,y} \right)=u\left( {x,y} \right)+iv\left( {x,y} \right)analitik. Jika ada, Tuliskan!
Solusi. Ya ada. (Mudah diperiksa bahwa u harmonis)
Dari persamaan Cauchy Riemaan
{{v}_{y}}={{u}_{x}}={{e}^{x}}\left( {x\cos y-y\sin y} \right)+{{e}^{x}}\cos y={{e}^{x}}x\cos y-{{e}^{x}}y\sin y+{{e}^{x}}\cos y\,\,\left( 1 \right)
\displaystyle {{v}_{x}}=-{{u}_{y}}=-{{e}^{x}}\left( {-x\sin y-\sin y-y\cos y} \right)={{e}^{x}}\left( {x\sin y+\sin y+y\cos y} \right)\,\,\left( 2 \right)
Integralkan \left( i \right) terhadap y maka
v={{e}^{x}}x\sin y+{{e}^{x}}y\cos y+F\left( x \right)\,\,\left( 3 \right)
Dimana F\left( x \right) adalah fungsi riil sembarang terhada x
Ganti \left( 3 \right) ke dalan \left( 2 \right)  untuk mendapatkan
{{e}^{x}}x\sin y+{{e}^{x}}\sin y+{{e}^{x}}y\cos y+F'\left( x \right)\,={{e}^{x}}\left( {x\sin y+\sin y+y\cos y} \right)
atau F'\left( x \right)=0 dan F\left( x \right)=c sehingga diperoleh
v={{e}^{x}}x\sin y+{{e}^{x}}y\cos y+c

Soal 3. Carilah nilai maksimum dari \left| {{{z}^{2}}+2z-3} \right| pada cakram satuan tertutup \left| z \right|\le 1 .
Soal 4. Tentukan residu  di z=0 dari fungsi
f\left( z \right)=\frac{{{{e}^{{{1}/{z}\;}}}}}{{{{z}^{2}}+1}}
Solusi. Residu di z=0 adalah koefisien {1}/{z}\; pada ekspansi
f\left( z \right)=\left( {1+\frac{1}{z}+\frac{1}{{2!{{z}^{2}}}}+\frac{1}{{3!{{z}^{3}}}}+...} \right)\left( {1-{{z}^{2}}+{{z}^{4}}-{{z}^{6}}+...} \right)
yaitu
\displaystyle 1-\frac{1}{{3!}}+\frac{1}{{5!}}-\frac{1}{{7!}}....\frac{{{{{\left( {-1} \right)}}^{{n-1}}}}}{{\left( {2n-1} \right)!}}=\sin (1)

Sumber: TheInspires.wordpress.com

= Baca Juga =

0 Response to "Pembahasan Soal ON MIPA PT 2016 Matematika : Analisis Kompleks Bagian Pertama Isian"

Posting Komentar

Silahkan berkomentar dengan sopan dan sesuai dengan topik..